Подготовка к школьной олимпиаде по математике 2019/2020 уч. год

5 класс

1. Известно, что числа 1954, 7435 и 5743 являются зашифрованными обозначениями слов РОСТ, ТРОС и ВЕТО, однако не известно, какому слову соответствует каждое обозначение.

Как будет выглядеть зашифрованное обозначение слова ВЕЕР? (При шифровании каждая буква заменяется на некоторую цифру; разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым - одинаковые).

2. Четверо не очень упитанных пятиклассников Андрей, Боря, Вася и Гена решили определить свой общий вес. Но поскольку все четверо мальчиков на весы не помещались, то они стали взвешиваться по трое или по двое. Оказалось, что Андрей, Боря и Вася вместе весят 90 кг, Боря, Вася и Гена – 92 кг, а Андрей и Гена - 58 кг.

Сколько весят все четверо мальчиков вместе?

3.Скорый поезд проходит расстояние между городами А и В за 8 часов, а пассажирский – за 16 часов. Пассажирский поезд отправился из А в В в 2100 часов, а через 2 часа навстречу ему из В в А отправился скорый поезд.

В какое время поезда встретятся?

4. Мама дала своим детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще 1 конфету, сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?

5. Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3 $, а каждый мальчик по 5 $, то все 30 учащихся класса соберут 122 $. Сколько в классе мальчиков?

6. На четырех полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках оказалось поровну. Сколько было книг на каждой полке первоначально?

7. В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6, 9. Может ли одно из этих чисел быть ровно в 3 раза больше другого?

 

 

6 класс

1. Цена на товар повысилась в январе на 25%, в феврале – на 50%, и в марте – на 60%. На сколько процентов возросла цена на товар в результате указанных повышений?

2. На прямолинейном участке шоссе расположены четыре остановки А, В, С, Д. Известно, что расстояние между остановками А и Д равно 1 км, между В и С – 2 км, между В и Д – 3 км, между А и В – 4 км, между С и Д – 5 км. Определите расстояние между остановками А и С.

3. Два года назад Вася был в два раза моложе своего брата Пети, а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет братьям сейчас?

4. В коробке лежат болтики, шайбочки, винтики и гаечки – всего 107 штук. Известно, что число болтиков в 3 раза больше числа шайбочек, число шайбочек в 2 раза больше числа винтиков; кроме того, винтиков больше чем гаечек. Сколько гаечек лежит в коробке?

5. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 40 кг свежих?

6. Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот – за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?

7. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады – за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

 

 

8 класс

1. Упростите выражение:

,

при условии, что .

2. Доказать, что для любого натурального значения  величина  делится на 6.

3. При каких целых значениях  значение дроби  является целым числом?

4. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части, Найти углы треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисами угла при вершине и угла при основании равен 1300. Найдите углы треугольника.

6. Двое одновременно отправились из A в В. Первый поехал на велосипеде, а второй на автомобиле со скоростью в 5 раз большей скорости первого. На полпути автомобиль сломался, а оставшуюся часть пути автомобилист прошёл пешком со скоростью в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в В?

7. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке, то получится 36.

8. Решите уравнение .

 

     7 класс

 

1. В ящике имеются апельсины и лимоны, причем число лимонов составляло 1/3 числа апельсинов. Когда из ящика достали 7 лимонов и 15 апельсинов, то число лимонов составило 1/5 от числа оставшихся апельсинов. Сколько лимонов и сколько апельсинов было в ящике?

2. Имеется 101 монета, из которых 50 фальшивых (монеты неотличимы  по внешнему виду). Каждая фальшивая монета тяжелее настоящей на 1 грамм. Имеются также двухчашечные весы со стрелкой, показывающей разность весов на чашках. Вася спрятал одну из этих монет. Может ли Петя за одно взвешивание оставшихся монет определить, фальшивая ли она?

3. Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

4. Сосчитайте:

1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.

5.На стороне ВС прямоугольника АВСД отмечены точки К и Р, а на стороне АД – точка М. Оказалось, что КМ – биссектриса угла АКС, а РМ – биссектриса угла ВРД. Найдите сумму длин отрезков ВК и РС, если АК=6, КР=7, РД=8.

6. Вычислите значение выражения:

 

7. Сколько граммов воды нужно прибавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?

​